概率知识归纳

python基础

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2019-7-28

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概率用来定量描述随机事件发生可能性大小

概率的频率定义

A发生的频率=频数/试验次数

概率的主观定义

 一个事件的概率是人们根据已有的知识和经验对该事件发 生可能性所给出的个人信念,这种信念用 [0,1] 中的一个数来表示, 可能性大的对应较大的数。

古典概型

定义:称一个事件组 A1,A2,…,An 为一个 等概完备事件组, 如果它具有下列三条性质:

(1) A1,A2,…,An 发生的机会相同(等可能性)

(2) 在任一次试验中,A1,A2,…,An 至少有一个发生(也就是所谓“除 此之外,不可能有别的结果”)(完备性)

(3) 在任一次试验中,A1,A2,…,An 至多有一个发生(也就是所谓“它 们是互相排斥的”)(互不相容性)

等概完备事件组也称“等概基本事件组”,其中任一事件 Ai(i = 1,2,…,n) 称为基本事件

若 A1,A2,…,An 是一个等概基本事件组,事件 B 由其中的 m 个 基本事件所构成,则

P(B) =m/n (2.1)

古典概型就是用等概基本事件组和 (2.1) 来计算事件的概率的模型。

例题:设一批产品共 N 个,其中次品共 M 个。从中任取 n 个。 问:恰好出现 m 个次品的概率? 0 ≤ m ≤ n, m ≤ M, n−m ≤ N −M。 这是例 2.4 的一般化,所以

扩展:设有 N 个东西分成 k 类,其中第 i 类有 Ni 个东西 (i = 1,2,…,k),N1 + N2 + …Nk = N, 从这 N 个东西中任取 n 个,而 n = m1 + m2 +···+ mk (0 ≤ mi ≤ Ni,i = 1,2,…,k), 则事 件 A = “恰有 m1 个属于第 1 类, 恰有 m2 个属于第 2 类,··· ···,恰有 mk 个属于第 k 类”的概率为

事件的运算及概率的加法公式

(用韦恩图加以理解)

事件运算的概念

  • 如果事件 A 发生则事件 B 一定发生,就称事件 B 包含事件 A,记 作A ⊂ B 或B ⊃ A.
  • 如果 A ⊂ B 且 B ⊂ A,则称事件 A 与事件 B 相等,记作A=B
  • 事件“A 或 B”称为事件 A 与事件 B 的并,记作 A∪B 或 A + B;某次试验中 A∪B 发生,即“A 或 B”发生,意味着 A,B 中至少发生一个
  • 事件“A 且 B”称为事件 A 与 B 的交,记作 A∩B 或 AB 或 A·B;A∩B 发生,即“A 且 B”发生,意味着 A 和 B 都发生
  • 事件“非 A”称为 A 的对立事件,记作 ¯ A。A∩ ¯ A =V ,A∪ ¯ A =U
  • 事件 A 同事件 B 的差表示 A 发生而 B 不发生的事件, 记作 A-B。A-B=A∩ ¯ B 

事件的运算规律

事件的互不相容性

如果事件 A 与事件 B 不能都发生,即AB = V (不可能事件),则称 A 与 B 是互不相容的事件。

对任意两个事件 A, B

例题

公理化定义

集合、集合的关系、集合的运算及运算规则

条件概率

如果 A, B 是条件组 S 下的两个随机事件,P (B|A)= 0

乘法公式

韦恩图加以理解

事件独立性

称两个随机事件 A, B 是相互独立的, 如果P(AB) = P(A)P(B)

事件 A 是否发生不影响事件 B 的发生概率,事件 B 是否发生也不 影响事件 A 的发生概率

全概公式

作者:刘小鸭