排列组合技术

c/c++

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2019-4-1

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<algorithm> 库里有一个名不见经传的函数叫做:std::next_permutation

简单写个用法示例:

cpp#include <iostream>
#include <array>
#include <algorithm>

int main()
{
    std::array<int, 4> A = {1,2,3,4};
    do {
        for (auto i : A)
            std::cout << i << " ";
        std::cout << std::endl;
    } while (std::next_permutation(A.begin(), A.end()));
}

输出(截取部分):

1 2 3 4 // 2->3->4 : ascending
1 2 4 3
1 3 2 4
1 3 4 2
1 4 2 3
1 4 3 2 // 4->3->2 : descending
2 1 3 4
2 1 4 3
2 3 1 4

恐怕你已经发现了,这个方法可以帮助我们列出某个容器的全套排列组合。它其实还有一个兄弟函数,名曰 std::prev_permutation,一个是向前排列,一个是向后排列,算法上大同小异。

探秘

提到这个,原因一是这对姐妹藏在深闺无人知,科普一下;更重要的原因,是我对于其排列的算法很感兴趣,它是按照什么顺序来进行排列组合的?这个 STL 算法函数如果让我来实现,会如何实现?

实际上,仔细观察上面输出,大体上我们可以看出一点端倪:

  1. 总体上是从小到大。如从 1 开头,到 2 开头。
  2. 当 1 开头时,将全部 1 开头的组合列完。
  3. 如何保证第 2 条?发现规律是,除去开头的 1 ,剩下三个数,呈这样的规律:从递增排列到递减
  4. 第 3 条是大方向,我们再细究每一步。发现局部范围内,也是将递增变为递减,如 3,4 -> 4,3

综上,我们若要得到下一步的组合,应该将注意力集中在递增的子序列上,设置两个迭代器,start 与 last,分别指向递增子序列的手尾,用此来重点分析一下从第二行到第三行的转变。

1 2 4 3
  ^ ^
  s l

这种情况下, s 指向了 2,意味着 1,2 开头的组合已经排列完毕,根据第 1 条,我们希望去排列 1,3 开头的组合了。而此刻 3 在行尾,我们就希望将其提取到 2 的前头去。即变成:

1 3 2 4

果然就是咱们想要的了。可是这个插入过程实际上应分为两步:

  1. swap(2, 3);
  2. 4 以后的元素全部逆序

解释一下第二步,当 last 指向 4,这已经意味着 4 以后一定是降序的,即使交换了 2,3 也无法改变这个顺序。而我们所希望的,显然是保持 2,4 这样的升序,作为 1,3 开头排列的起始。所以才有了第二步的逆序。

动手

讲明算法,再来理一理实现思路。

  • 首先,容器为空,或是仅有一个元素,自然返回 false。
  • 然后,需要初始化 start 的位置,我们希望从后往前找,故初始状态下,指向最后一个元素。
  • 最后,开始迭代过程,定位 start 与 last 的位置,详细直接见代码:
cpp#include <algorithm>

template<class Iterator>
bool my_next_permutation(Iterator beg, Iterator end)
{
    if (beg == end) return false;    // 容器为空
    Iterator start = end;
    if (beg == --start) return false;    // 仅有一个元素

    for(;;) {
        Iterator last = start--;    // last 指向最后一个元素,并将 start 前移

        if (*start < *last) {    // 直至定位到一个升序序列
            Iterator riter = end;    // 依旧从尾部开始
            while (!(*start < *--riter))    // 找到下一个排列的开头,恰是第一个大于当前开头的元素
                ;
            std::iter_swap(start, riter);    // 交换
            std::reverse(last, end);    // 逆序
            return true;
        }
        if (start == beg) {    // 特殊情况,即全部排列完毕(整体降序),回到初始(整体升序)
            std::reverse(beg, end);
            return false;
        }
    }
}

面试

实际上,这道题也是一道面试题,请见:Next Permutation on LeetCode

动手做做吧~